在一個古老而神秘的小鎮上，流傳著一個關于錯登科的故事。這個鎮子四面環山，常年云霧繚繞，仿佛與世隔絕。這里的人們相信，只有通過科舉考試，才能改變自己的命運。這是一個充滿希望與夢想的地方，然而，命運卻常常以它獨特的方式捉弄著人們。
故事的主人公名叫李明，是個書生，心中懷揣著對科舉的渴望。李明從小聰穎過人，勤奮好學，深得老師的喜愛。然而，李明出身貧寒，家中條件有限，無法承擔備考的費用。他每天都在村子的書院里借書自學，希望有朝一日能夠考取功名，實現自己的夢想。
一年一度的科舉考試即將來臨，李明的心中充滿了緊張與期待。為了能夠參加考試，他在村里做各種零工，省下每一分錢。經過幾個月的辛勤努力，他終于湊夠了考試的報名費，并按照規定的日期到達了縣城。縣城的人聲鼎沸，處處是考生和他們的家屬，大家都在為自己的未來而拼搏。
考試的日子如約而至，李明在考場上絞盡腦汁，盡力將自己所學的知識傾注在試卷上。然而，他心中也充滿了不安，總覺得自己還有許多不足之處。當他走出考場時，已經筋疲力盡，但也暗自期待著能在榜單上看到自己的名字。
數日后，榜單終于揭曉。李明的心中狂跳不已，然而，他看到的卻不是自己的名字。他深吸一口氣，心中五味雜陳。就在這個時候，一個陌生的聲音傳入了他的耳中：“你是李明嗎？”李明抬頭，看到一個身穿華服的年輕人，面帶微笑，正朝他走來。
“我是，你是？”李明疑惑地問。
“我叫趙宇，也是剛參加了科舉考試。我看到榜單上的成績，覺得有些地方好像出了問題?！壁w宇說道，“當時我和你同考，我的題目和你的很相似，但聽說你考得并不好，結果卻登上了一個不該屬于你的名次。”
李明驚訝地回應：“你是說，我被錯登科了？”
“是的，沒有人愿意相信，但我知道你才是那位優秀的考生?！壁w宇的眼中閃爍著堅定的光芒，“我們應該去查清楚這件事。”
兩人決定一起調查這起錯登科的事件。他們找到了一些考官和學子的朋友，企圖還原當日的考場情形。在一番調查后，他們終于發現，出錯的原因竟是一個身份不明的作弊者，故意調換了試卷，從而讓李明無法取得好成績。
李明的心中充滿了失落，但同時也涌起一陣溫暖。他沒有想到，盡管自己深受打擊，仍有人愿意站出來為自己辯護。他與趙宇的友誼在這次調查中愈發深厚，他們決定不再止步于此，而是要揭露這起錯登科事件。
幾經周折，他們終于找到了事發當天的目擊者，還有一個隱蔽角落里潛伏的官員，愿意為他們作證。經過一番波折，他們將證據整理好，向縣府遞交了上訴。
經過一段時間的調查，縣府終于確認了李明的清白，并對此事作出了嚴肅處理。李明在重新評估后，得到了應有的功名，成為了眾人所羨慕的秀才。
然而，李明沒有選擇沉溺于這份榮耀中，他始終銘記自己的初心。在獲得功名后，李明決定回到小鎮上，設立學堂，普及知識，幫助更多像他一樣渴求進步的孩子們。他不想讓任何人因為經濟條件的限制而無法實現自己的夢想。
而趙宇則成為李明的得力助手，二人共同努力，書院日漸繁盛，成為了鎮上人們向往的知識殿堂。小鎮的人們在李明的帶領下逐漸改變了對科舉的認知，不再把選拔看作唯一的出路，反而開始重視教育與實際能力的提高。
歲月如梭，李明與趙宇的伙伴情誼在書院的每一個角落發出光輝。錯登科的陰霾終于散去，取而代之的是一片光明。他們的故事傳遍了四方，成為小鎮上流傳的佳話，激勵著一代又一代的人們，以知識改變命運，勇敢追逐自己的夢想。